三个向量线性相关的条件
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定理1 向量b能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1, a2, …, am) 的秩等于矩阵B=(a1, a2, …, am, b)的秩。
定理2 向量组B:b1, b2, …, bl 能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1, a2, …, am)的秩等于矩阵(A, B)=( a1, a2, …, am, b1, b2, …, bl)的秩,即R(A) = R(A, B)。
推论:向量组A:a1, a2, …, am 与向量组B:b1, b2, …, bl 等价的充要条件是R(A) = R(B) = R(A, B)。
定理3 设向量组B:b1, b2, …, bl 能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示,则R(A)≥ R(B)。
定理4 向量组A:a1, a2, …, am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=( a1, a2, …, am) 的秩小于向量个数m向量组A线性无关的充要条件是R(A) = m。
定理5 (1) 若向量组A:a1,…,am线性相关,则向量组B:a1, …, am, am+1也线性相关。反之,若向量组B线性无关,则
向量组A也线性无关。是以|α1,α2,α3|为行向量组构成3阶方阵A,所以向量组线性相关的充分必要条件是|A|=0。
|A|=-30a+30b+30c=-30(a-b-c)。
所以向量组线性相关的充分必要条件是a-b-c=0。
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