合：函数周期性公式全解析

一、函数的周期性：

设函数 f（x）在区间 X 上有定义，若存在一个与 x 无关的正数 T

使对于任一 x∈X，恒有 f（x+T）= f（x）

则称 f（x）是以 T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数 T 称为函数 f（x）的周期。

二、周期函数的运算性质：

①若T为f（x）的周期，则f（ax+b）的周期为 T/|a| 。

②若f(x)，g(x)均是以T为周期的函数，则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数。

③若f(x)，g(x)分别是以T1，T2，T1≠T2为周期的函数，则f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍数为周期的函数。

三、常见的周期函数有：

sinx，cosx，其周期 T=2π

tanx，cotx，|sinx|，|cosx|，其周期 T=π。

解题提示：判别给定函数f（x）是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质。

四、例题：

设对一切实数x，有f（1/2 + x）= 1/2 + √【f(x)- f^2(x)】，则f（x）是周期为多少的周期函数

解：f【1/2 +（1/2 + x）】= 1/2 + √【f(1/2 + x)- f^2(1/2 + x)】

=1/2 + √【1/4 - f(x) + f^2(x)】= 1/2 + 【 f(x) - 1/2】

= f(x)，(由题设 f(x)≥1/2)

即 f(1+x) = f(x) ，故可知f(x)的周期为1 。