有没有一些万能因式分解的方法
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一、提取公因式法
例1:因式分解:3x^3+8x^2y+6x^2y^3
=x^2(3x+8y+6y^3)
有些多项式进行提取公因式法之后,还要进一步进行因式分解,如果没有分解到不能再分,不能算是正确答案。
例2:因式分解:x^2y^2-2x^y+x^2
=x^2(y^2-2y+1)
=x^2(y-1)^2
二、完全平方和公式法
完全平方和公式法使用针对这样的多项式:x^2+2xy+y^2,这个式子的逆运算就是计算(x+y)(x+y)。
例3:因式分解:9a^2+6a+1
=(3a)^2+2x3a+1^2
=(3a+1)
有时候,因式分解没这么简单的完全平方和,可能要比这个复杂些,可能是一个字母和一个式子的平方和,或者是两个式子的平方和。
例4:因式分解:4a^2+4a+1+2ab+b+b^2
原式=(2a+1)^2+b(2a+1)+b^2
=(2a+b+1)^2
三、完全平方差公式法
完全平方差公式法和完全平方和公式法如同孪生兄弟,二者极其相似,它的基本表达式子是x^2-2xy+y^2,它是(x-y)(x-y)的乘积,而在实际因式分解中,并不像公式那样的明显,例如x^2-6x+9,x^2-4xy+4y^2.
例5:x^2+y^2-2xy-6x+6y+9
解析:通过观察发现这个式子可以变成x^2-6x+9-2y(x-3)+y^2,可以构成一个完全平方差公式。
原式= x^2-6x+9-2y(x-3)+y^2
=(x-3)^2-2y(x-3)+y^2
=(x-y-3)^2
四、平方差公式法
平方差公式法在实际应用中最广,它的表达式比较直观:a^2-b^2,它等于(a+b)(a-b)
例6:因式分解:9x^2-y^2-2y-1
如果不对这个多项式进行整理,不容易发现它要用到平方差公式,如果已整理,就变得非常直观,而且这个多项式还要用到完全平方式。
原式=9x^2-(y+1)^2
=(3x+y+1)(3x-y-1)
例7:因式分解 x^2-4x-y^2-2y+3
=x^2-4x+4-y^2-2y-1
=(x-2)^2-(y+1)^2
=(x-2+y+1)(x-2-y-1)
=(x+y-1)(x-y-3)
五、立方和公式法
立方和常见的类型如a^3+b^3,需要对这个多项式进行分解,才能更好地理解这个式子。
a^3+b^3
=a^3+ab^2-ab^2-a^2+a^2b+ab^2
=a^2(a+b)-ab(a+b)+b^2(a+b)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)
有很多时候,要分解的因式不一定就是a^3+b^3,对可以进行立方和公式法分解的方法按照立方和公式进行分解
例8:因式分解a^6+b^3
=(a^2+b)(a^4-a^2b+b)
六、立方差公式法
a^3-b^3
=a^3-a^2b+a^2b-ab^2+ab^2-b^3
=(a-b)(a^2+ab+b^2)
要注意立方和与立方差公式中正负号的位置,不要混淆。
七、十字相乘法
十字相乘法应用很广,尤其在一元二次方程中,初中的抛物线方程和解一元二次方程中都会用到一元二次方程,要对十字相乘法中的数字非常熟悉,从-10到10之间(除0以外),两个数字相加和相乘之后的计算结果要非常熟悉,例如-3和+6相加是3,相乘是-18。
例9:因式分解:x^2-4x-12
=(x-6)(x+2)
例10:因式分解x^2-y^2+x-5y-6
=(x+y)(x-y)-2(x+y)+3(x+y)-6
=(x+y+3)(x-y-2)
八、添项法
添项法因式分解比上面七个要难,需要进行分析之后,考虑是否添项,并且分析怎么添项。
例11:因式分解 x^5+1
分析:这个题目直接分解,不能分,需要考虑添加项,通过添加的项,帮助找到公共的因式,才能进行因式分解。
原式=x^5+x^2-x^2+1
=x^2(x^3+1)-(x+1)(x-1)
=x^2(x+1)(x^2-x+1)- (x+1)(x-1)
=(x^4-x^3+x^2-x+1)(x+1)
添项的目的为要可以提取出公因式,有些对称轮换式,例如a^3+b^3+c^3+3abc,这个多项式只能通过添项才能进行因式分解。
九、拆项法
拆项法一般应用在多项式至少有三项,如果有两项,拆项后变成三项,难以进行因式分解,一般三项或以上考虑拆项的方法。
例12:因式分解x^3-3x^2+4
=x^3-2x^2-(x^2-4)
=x^2(x-2)-(x-2)(x+2)
=(x-2)(x^2-x-2)
=(x-2)(x-2)(x+1)
=(x-2)^2(x+1)
十、解方程法
例13:因式分解x^5-2x+1
解析:假设这个式子等于0,我们很容易看出1是方程x^5-2x+1的解,因此可以确定x-1就是这个方程的一个因式,顺藤摸瓜,就很方便对这个式子进行因式分解。
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