玻尔兹曼输运定理

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在高中物理中，我们可以用牛二很好的解决物体的动力学问题，即知道物体的受力以及初始速度与位置，我们可以算出这个物体在今后每一个时刻的速度和位置。但是当时没有教过，也没有想过，如果现在我要面对的不是一个物体，也不是两个物体，而是数亿个粒子，这个时候怎么去描述这些粒子的运动理论上还可以用牛二一个个算，当然没有个几万岁是算不完的。好在基于统计力学，我们现在有玻尔兹曼输运方程提供了一个近似的解法。

玻尔兹曼输运理论最基本的一个量叫做分布函数。事实上，对于非平衡态，我们只要知道分子的分布函数 [公式] ，我们几乎就可以知道所有的感兴趣的宏观量。分布函数的定义为：[公式] 代表着时刻 [公式] ，处于位置 [公式] 到 [公式] ，速度处于 [公式] 到 [公式] 之间的粒子数目。知道了分布函数，我们就可以方便的算出一些宏观量比如密度，粘性系数，热导率。

事实上，对于我们感兴趣的任意一个宏观量，我们都可以基于分布函数求其宏观期望值。假设 [公式] 表示了时刻 [公式] ，当分子处于位置 [公式] 附近以及速度 [公式] 附近时候的一个性质，这个性质可以是能量，或者动量，那么我们希望知道这个量在空间上的分布，我们只需要求均值即可

表示分子在空间某处的粒子数。

相比于牛二，我们对系统的描述不再是通过一个一个物体，而是通过分布函数来描述。这样就压缩了很多信息了。

玻尔兹曼输运定理

玻耳兹曼输运方程Boltzmann"s transport equation，含时间的分布函数的演化方程，是讨论输运过程的基本方程。因方程中既有积分又有微分，故又称玻耳兹曼积分微分方程。

中文名

玻耳兹曼输运方程

外文名

Boltzmann"s transport equation

定义

是讨论输运过程的基本方程

又称

玻耳兹曼积分微分方程

若将速度在v和（v+dv） 之间、坐标在r和（r+dr）之间的分子数目在总分子数中所占比率（即百分数）表为f（r，v，t）drdv，则f（ r，v，t） 称为非平衡态的分布函数，它随时间变化。1872年玻耳兹曼把分布函数的变化率归结为连续运动和碰撞两个因素，给出了f （r，v，t）所遵循的演化方程，这是一个非线性的积分微分方程，非常复杂。1875年玻耳兹曼用它推导了输运过程的粘滞系数、扩散系数和热传导率，故称为输运方程。由于方程非常复杂，直到40多年后的1916～1917年 ，D.恩斯科格和S.查普曼才分别通过冗繁的演算，求出了对于稀薄气体的解答。玻耳兹曼方程已经成为研究流体、等离子体和中子的输运过程的基础。

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